《高等数学》课程教学大纲

名 称：高等数学/Advanced Mathematics

课程性质：公共必修课 总学时：124学时

适用专业：需要学习数学的各专业一年级学生

教 材：《高等数学》东北大学出版社 王岗等主编

考核方式及成绩评定：

1.考核方式：考试

2.成绩评定：平时成绩40%，期末考试60%

一、 课程的性质、任务和目的

《高等数学》是高等职业教育必修的一门重要的基础课。通过本课程的学习，学生将系统地获得大纲所列内容的基本知识、必需的基础理论和常用的运算方法，为学生学习后继课程和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的数学方法。在传授知识的同时，通过各个教学环节逐步培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、空间想象能力和自学能力，培养学生运用知识分析解决实际问题的能力。

二、课程的主要内容与学时分配

（一） 函数与极限（13学时）

1． 函数概念、分段函数、复合函数、基本初等函数，简单实际问题中的函数关系建立。（2学时）

2. 函数极限概念，无穷小、无穷大概念及其相互关系，无穷小比较。（4学时）

3. 极限运算法则，两个重要极限。（2学时）

4. 函数连续概念，间断点分类，初等函数连续性，闭区间上连续函数性质。（4学时）

5. 习题课：极限的运算，函数的连续性。（1学时）

（二） 一元函数微分法（16学时）

1． 导数概念及其几何意义，变化率举例，可导与连续关系。（4学时）

2． 导数运算法则和基本公式。（6学时）

3． 隐函数和参数方程所确定函数的导数，高阶导数。（4学时）

4． 习题课：导数的运算。（2学时）

（三） 微分法应用（12学时）

1． 柯西中值定理与拉格朗日中值定理，洛比达法则，未定式0/0与∞/∞的极限，函数单调性判别。（4学时）

2． 函数极值的概念和函数极值求法，简单实际问题的最值的求解，函数的凹凸性、拐点，简单函数图形的描绘。（6学时）

3．习题课：导数的概念与运算，函数的单调性、极值与最值。（2学时）

（四） 不定积分（16学时）

1． 不定积分的概念与性质，不定积分基本公式。（4学时）

2． 不定积分的第一、第二换元积分法，分部积分法。（10学时）

3. 习题课：不定积分法。（2学时）

（五） 定积分及其应用（14学时）

1． 定积分概念，定积分性质。（2学时）

2． 原函数存在定理，微积分基本公式。（2学时）

3． 定积分的换元积分法和分部积分法、反常积分。（4学时）

4． 定积分的微元法，平面图形的面积，旋转体的体积，平面曲线弧长。（4学时）

5. 习题课：定积分的概念与运算，定积分的应用。（2学时）

(六) 空间解析几何（10学时）

1．空间直角坐标系及向量的概念（向量、单位向量、向量模与方向余弦）。向量的运算（线性运算、数量积、向量积）两个向量平行与垂直条件。（2学时）

2．平面方程（点法式、一般式）与直线方程（点向式、一般式）。（4学时）

3．常用二次曲面，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形。（2学时）

4．习题课：向量的点积与叉积，平面方程与直线方程。（2学时）

（七）多元函数微分学（16学时）

1．多元函数概念，二元函数极限与连续的概念，偏导数概念。（2学时）

2．全微分概念及其几何意义，复合函数的求导法则。（4学时）

3．隐函数的求导法则，曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线。（6学时）

4．多元函数极值概念，函数极值的求法，条件极值与拉格朗日乘数法。简单实际问题的最值应用。（2学时）

5．习题课：偏导数与全微分概念及运算，条件极值。（2学时）

（八）重积分（12学时）

1．二重积分的概念，二重积分的性质，二重积分的计算方法（直角坐标与极坐标）。（10学时）

2．习题课：二重积分的概念及运算（2学时）

（九） 微分方程（13学时）

1． 常微分方程、方程的阶、解、通解、特解等基本概念，可分离变量的微分方程的解法。（2学时）

2． 一阶线性微分方程的解法。常数变易法、积分因子法及可降阶的二阶微分方程的解法。（4学时）

3． 二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的解法，自由项为多项式与指数函数之积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。（6学时）

4．习题课：一阶微分方程及二阶常系数齐次线性微分方程的解法。（1学时）

课 时 分 配 表

三、课程教学基本要求及重点

1．函数教学基本要求

（1）理解函数的概念。

（2）了解分段函数。

（3）了解复合函数的概念。

（4）掌握基本初等函数，理解初等函数的概念

（5）能熟练列出简单问题的函数关系式。

单元教学重点：

函数的概念、基本初等函数

2．极限与连续教学基本要求

（1）了解函数极限的描述性定义。

（2）了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系，会对无穷小进行比较。

（3）知道夹逼准则和单调有界数列极限存在准则，会用两个重要极限求极限。

（4）掌握极限四则运算法则。

（5）理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型。

（6）了解初等函数的连续性，知道在闭区间上连续函数的性质（介值定理、最大值和最小值定理。）

（7）会求连续函数和分段函数的极限。

单元教学重点：

极限与无穷小的概念，利用两个重要极限求极限，利用极限四则运算法则求极限，函数的连续性。

3．一元函数微分学教学基本要求

（1）理解导数和微分的概念，了解导数、微分的几何意义，知道函数可导、可微、连续之间的关系，能用导数描述一些实际问题中的变化率。

（2）熟悉导数和微分的运算法则（包括微分形式不变性），导数的基本公式。了解高阶导数的概念，掌握初等函数一、二阶导数的求法，知道一些简单函数的n阶导数。

（3）会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶导数。

（4）知道柯西中值定理，了解拉格朗日中值定理。

（5）理解函数的极值概念。掌握求函数的极值，判断函数的增减与函数图形的凹向，以及求函数图形的拐点等方法，能描绘简单的常用函数的图形（包括水平渐近线和铅直渐近线）。掌握简单的最大值和最小值的应用题的求解。

（6）会用洛必达（L’Hospital）法则求未定型0/0与∞/∞的极限（其它未定型不作要求）。

单元教学重点：

导数和微分的概念，导数的基本公式，导数和微分的运算法则,拉格朗日（Lagrange）中值定理，洛必达（L’Hospital）法则，函数的单调性与极值，简单的最大值和最小值的应用题的求解。

4．一元函数积分学教学基本要求

（1）理解不定积分和定积分的概念及其性质。

（2）熟悉不定积分的基本公式，掌握不定积分的第一类换元法和分部积分法，会用第二类换元法（限于三角置换，根式置换），会查积分表。

（3） 知道变上限的定积分是变上限的函数，知道有关求导定理。熟练掌握牛顿（Newton）—莱布尼兹（Leibniz）公式。

（4）了解反常积分的概念，会计算一些简单的无穷限反常积分。

（5）掌握定积分的微元法，能用于列写某些几何量和物理量的定积分表达式。

单元教学重点：

不定积分和定积分的概念，不定积分和定积分的换元积分法及分部积分法，牛顿（Newton）—莱布尼兹（Leibniz）公式，定积分的微元法及在某些几何量和物理量方面的应用。

5．向量代数与空间解析几何教学基本要求

（1）理解空间直角坐标系。

（2）理解向量的概念。

（3）掌握向量的坐标表示及运算（线性运算、点乘及叉乘），会求两个向量的夹角，知道向量的方向余弦，知道两个向量平行与垂直的充要条件。

（4）了解平面方程、直线方程的概念，会求简单的平面方程，直线方程。

（5）了解曲面方程的概念。知道常用二次曲面的方程及其图形，知道以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形。

（6）知道空间曲线的参数方程和一般方程，会求简单空间曲线在坐标平面上投影。

单元教学重点：

向量的概念，向量的坐标表示及运算，两个向量平行与垂直的充要条件。简单的平面方程与直线方程的确定，常用二次曲面的方程及其图形。

6．多元函数微分学教学基本要求

（1）理解多元函数的概念。

（2）知道二元函数的极限、连续性等概念，及有界闭域上连续函数的性质。

（3）了解偏导数、全微分的概念。

（4）掌握复合函数的求导法则。会求二阶偏导数（抽象函数的二阶偏导数不作要求）。

（5）会求隐函数的偏导数。

（6）会求曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线。

（7）了解多元函数极值的概念，会求函数的极值。了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值。会解一些简单的最大值和最小值的应用。

单元教学重点：

多元函数的概念,偏导数、全微分的概念,复合函数的求导法则,曲面的切平面与法线,多元函数极值及一些简单的最大值和最小值的应用。

7．多元函数积分学教学基本要求

（1）理解二重积分的概念，知道二重积分的性质。

（2）掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。

（3）会用二重积分解决简单的应用题。

二重积分的概念，二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标）

8.常微分方程教学基本要求

（1）了解微分方程、方程的阶、解、通解、初始条件、特解等概念。

（2）熟练掌握可分离变量微分方程及一阶线性微分方程的解法。

（3）灵活应用常数变易法、积分因子法及可降阶的二阶微分方程的解法。

（4）了解二阶线性微分方程解的结构。

（5）熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

（6）知道自由项为多项式与以e为底的指数函数乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。

（7）会用微分方程知识解决一些简单的实际问题。

单元教学重点：

微分方程的基本概念，可分离变量微分方程及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。